
# ARIMA, SARIMA, VARIMA

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## 소개

ARIMA, SARIMA, VARIMA는 시계열 분석에서 가장 널리 사용되는 통계 기반 모델로, 데이터의 자기상관성, 추세, 계절성을 반영하여 미래 값을 예측합니다. 이 글에서는 각 모델의 수학적 구조와 차이점, stationarity/invertibility 조건, 통계적 진단 방법, 모델 선택 기준(AIC, BIC), 자동 모델링 기법까지 체계적으로 다룹니다.

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## 주요 내용

### 1. ARIMA 모델

ARIMA는 Autoregressive Integrated Moving Average의 약자로, 세 개의 요소로 구성됩니다:

- **AR (p)**: 자기회귀항
- **I (d)**: 차분을 통한 비정상성 제거
- **MA (q)**: 이동 평균항

#### 수식

ARIMA(p,d,q) 모델의 수식은 다음과 같습니다:

$$
\phi(B)(1 - B)^d y_t = \theta(B) \varepsilon_t
$$

- $ B $: Backshift operator ($ B y_t = y_{t-1} $)
- $ \phi(B) = 1 - \phi_1 B - \cdots - \phi_p B^p $
- $ \theta(B) = 1 + \theta_1 B + \cdots + \theta_q B^q $
- $ \varepsilon_t \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) $: white noise

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### 2. Stationarity (정상성)

정상 시계열은 시간에 따라 평균과 분산이 일정합니다. 대부분의 통계적 모델은 정상성을 전제로 하므로, 비정상 시계열은 차분(d) 연산을 통해 정상화해야 합니다.

#### 판별 방법

- **ADF (Augmented Dickey-Fuller Test)**: 귀무가설은 "단위근 존재" (비정상 시계열)
- **KPSS Test**: 귀무가설은 "정상 시계열"
- **Canova-Hansen Test**: 계절적 단위근 검정

#### 예시 (Python)

```python
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, kpss

result = adfuller(series)
print(f"ADF p-value: {result[1]}")

kpss_result = kpss(series, regression='c')
print(f"KPSS p-value: {kpss_result[1]}")
```

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### 3. Invertibility (가역성)

MA 모델에서 추정값의 안정성을 위해 필요합니다. MA 모형의 역함수 계수들이 단위 원 밖에 있어야 합니다.

즉, 모든 해 $z$에 대해:

$$|\theta(z)| = 0 \Rightarrow |z| > 1$$

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### 4. ACF / PACF

- **ACF (Autocorrelation Function)**: 시계열과 자기 지연 값들 간의 상관도
- **PACF (Partial ACF)**: 다른 지연 값의 영향을 제거한 상관도

| 모델 | ACF | PACF |
|------|-----|------|
| AR(p) | 점진적 감소 | p에서 절단 |
| MA(q) | q에서 절단 | 점진적 감소 |
| ARMA(p,q) | 점진적 감소 | 점진적 감소 |

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### 5. 모델 선택 기준: AIC, BIC

- **AIC (Akaike Information Criterion)**:
$$\text{AIC} = -2 \ln(L) + 2k$$

- **BIC (Bayesian Information Criterion)**:
$$\text{BIC} = -2 \ln(L) + k \ln(n)$$

여기서:
- $L$: 최대우도
- $k$: 모수 수  
- $n$: 샘플 수

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### 6. Automatic ARIMA

pmdarima 패키지를 이용하면 자동으로 최적의 (p,d,q)를 탐색합니다:

```python
from pmdarima import auto_arima

model = auto_arima(series, seasonal=False, trace=True,
                   stepwise=True, suppress_warnings=True)
model.summary()
```

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### 7. SARIMA: 계절성을 포함한 ARIMA

SARIMA는 계절적 ARIMA로, 다음과 같이 표기합니다:

$$\text{SARIMA}(p, d, q)(P, D, Q)_s$$

여기서:
- $(P,D,Q)$: 계절 ARIMA 항
- $s$: 계절 주기 (예: 12개월, 4분기 등)

#### 수식

$$\Phi(B^s)\phi(B)(1 - B)^d(1 - B^s)^D y_t = \Theta(B^s)\theta(B) \varepsilon_t$$

#### 예시 (Python)

```python
from statsmodels.tsa.statespace.sarimax import SARIMAX

model = SARIMAX(y, order=(1,1,1), seasonal_order=(1,1,1,12))
result = model.fit()
print(result.summary())
```

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### 8. VARIMA: 다변량 시계열

VARIMA는 여러 시계열 간 상호작용을 고려합니다. 각 변수는 자신의 과거값뿐 아니라 다른 변수의 과거값에 의해서도 설명됩니다.

#### VARIMA 수식

$$\Phi(B) \mathbf{y}_t = \Theta(B) \mathbf{\varepsilon}_t$$

여기서:
- $\mathbf{y}_t \in \mathbb{R}^k$: 다변량 시계열
- $\Phi(B), \Theta(B)$: 다항 행렬

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## 코드 예시

```python
import pandas as pd
import numpy as np
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA

# 예제 시계열 생성
np.random.seed(0)
y = pd.Series(np.random.randn(100).cumsum())

# ARIMA(1,1,1) 모델 적합
model = ARIMA(y, order=(1,1,1))
result = model.fit()
print(result.summary())
```

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## 결론

ARIMA, SARIMA, VARIMA는 시계열 데이터를 통계적으로 모델링할 때 강력한 도구입니다. 데이터의 특성을 먼저 이해하고, 적절한 차분과 모형 선택, 정상성 검정, ACF/PACF 분석, 정보 기준 등을 기반으로 신중히 설계해야 합니다. 특히 계절성과 다변량 요인이 존재할 경우 SARIMA나 VARIMA를 고려해야 하며, 자동 모델 선택 도구를 보조 수단으로 활용하면 모델링 효율을 높일 수 있습니다.

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## 참고 자료

- [Hyndman & Athanasopoulos, Forecasting: Principles and Practice](https://otexts.com/fpp3/)
- [Box, Jenkins, Reinsel, Time Series Analysis: Forecasting and Control](https://www.wiley.com/en-us/Time+Series+Analysis%3A+Forecasting+and+Control%2C+5th+Edition-p-9781118675020)
- [statsmodels documentation](https://www.statsmodels.org/stable/tsa.html)
- [pmdarima documentation](https://pmdarima.readthedocs.io/)


시계열 예측의 핵심 모델인 ARIMA, SARIMA, VARIMA에 대한 수학적 이해와 통계적 검정을 포함한 심층 포스트

ARIMA, SARIMA, VARIMA


# OpenCV 행렬 연산

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## 소개

OpenCV는 이미지와 비디오를 주로 `cv::Mat` 객체로 표현하며, 이는 사실상 **행렬(Matrix)** 구조입니다. 이 포스트에서는 OpenCV의 기본적인 행렬 연산부터 고급 기능인 전치, 역행렬, 재구성(reshape)까지 다루며, Scalar/Vec 클래스, InputArray/OutputArray 인터페이스 등도 설명합니다.

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## 주요 내용

### 1. Mat의 사칙 연산

OpenCV의 `cv::Mat` 객체는 NumPy와 유사하게 **사칙 연산을 지원**합니다.

#### (1) Mat vs Scalar

```cpp
cv::Mat img = cv::imread("image.jpg");
cv::Mat brighter = img + cv::Scalar(50, 50, 50); // 모든 픽셀의 BGR 채널에 +50

	•	Scalar(r, g, b)는 각 채널에 상수값을 더할 수 있음.
	•	브로드캐스팅 지원: Mat의 각 채널에 자동 적용됨.

(2) Mat vs Mat

cv::Mat A, B, result;
A = (cv::Mat_<uchar>(2,2) << 1, 2, 3, 4);
B = (cv::Mat_<uchar>(2,2) << 10, 20, 30, 40);
cv::add(A, B, result);  // 결과: 11 22 / 33 44

	•	cv::add, cv::subtract, cv::multiply, cv::divide 등 함수 제공
	•	산술 연산자 오버로딩도 지원 (+, -, *, /)

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2. 행렬 변환 함수

(1) Mat::t() – 전치(Transpose)

cv::Mat A = (cv::Mat_<float>(2,3) << 1,2,3,4,5,6);
cv::Mat At = A.t();  // 크기: 3x2

(2) Mat::inv() – 역행렬(Inverse)

cv::Mat A = (cv::Mat_<double>(2,2) << 1, 2, 3, 4);
cv::Mat A_inv = A.inv();

	•	정방행렬(정사각 행렬)에 대해서만 사용 가능.
	•	Singular matrix일 경우 예외 발생 또는 NaN 반환.

(3) Mat::reshape()
	•	데이터는 유지하되 차원만 변경:

cv::Mat A = cv::Mat::eye(3, 3, CV_32F);
cv::Mat reshaped = A.reshape(0, 1);  // 1행 9열로 변환

(4) Mat::resize()
	•	메모리 크기를 변경하며 행 수 변경:

cv::Mat A(3, 3, CV_8U);
A.resize(5);  // 5행으로 재조정, 값은 자동 초기화


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3. push_back() 함수
	•	행렬에 행 단위로 원소 추가:

cv::Mat A;
cv::Mat row = (cv::Mat_<int>(1,3) << 1,2,3);
A.push_back(row);  // 새로운 행이 A에 추가됨

	•	주로 벡터 리스트를 쌓아 하나의 Mat으로 만들 때 사용됨

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4. cv::Vec 클래스
	•	고정 크기 벡터. 예: cv::Vec3b, cv::Vec4f

cv::Vec3b pixel(255, 128, 0);
uchar blue = pixel[0];

	•	사용 예: Mat.at<Vec3b>(y, x) → BGR 픽셀

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5. cv::Scalar 클래스
	•	4채널까지 표현 가능한 상수 벡터
	•	색상, 필터 상수, 초기화 등에 자주 사용

cv::Mat img(100, 100, CV_8UC3, cv::Scalar(255, 0, 0));  // 파란 배경

	•	Scalar는 항상 BGR 순서임에 유의

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6. InputArray / OutputArray
	•	OpenCV 함수는 다양한 형태의 입력/출력을 받기 위해 추상 타입 cv::InputArray, cv::OutputArray를 사용합니다.

void cv::add(InputArray src1, InputArray src2, OutputArray dst);

	•	사용자는 Mat, UMat, vector<Point> 등을 넣으면 OpenCV가 자동 변환
	•	직접 사용할 일은 거의 없지만 함수 정의를 이해할 때 필수 개념

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코드 예시

#include <opencv2/opencv.hpp>
using namespace cv;

int main() {
    Mat A = (Mat_<float>(2,2) << 1, 2, 3, 4);
    Mat B = A.inv();
    std::cout << "A:\n" << A << "\nA^-1:\n" << B << std::endl;

    Mat transposed = A.t();
    std::cout << "A Transpose:\n" << transposed << std::endl;

    Scalar bias(10, 10, 10);
    Mat img(2,2,CV_8UC3, Scalar(100,100,100));
    img += bias;
    std::cout << "After Scalar Addition:\n" << img << std::endl;

    return 0;
}


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결론

OpenCV의 Mat 클래스는 단순한 이미지 컨테이너를 넘어 강력한 행렬 연산 기능을 제공합니다. 이와 함께 제공되는 Scalar, Vec, InputArray와 같은 구조는 고성능 영상처리와 수치 연산을 위한 유연한 인터페이스를 제공합니다. 위의 함수와 클래스를 익숙하게 다루면 OpenCV의 거의 모든 영상처리 작업을 수월하게 구현할 수 있습니다.

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참고 자료
	•	OpenCV Mat 공식 문서
	•	OpenCV Scalar
	•	OpenCV Vec
	•	InputArray/OutputArray 설명

OpenCV에서의 행렬 연산, Mat 객체의 사칙연산 및 변환 함수, Scalar, Vec 클래스, InputArray/OutputArray 개념까지 자세히 다룹니다.

OpenCV 행렬 연산


# ROS2 - 런타임에 토픽 이름 바꾸기, rqt 및 rqt_graph로 모니터링하기

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## 소개

ROS2에서는 **노드 간 통신을 토픽(Topic)을 통해 수행**합니다. 이 글에서는 두 개의 노드를 만들고, 메시지를 발행하고 구독하면서 토픽의 흐름을 `rqt_graph`로 시각화하는 방법을 소개합니다. 또한 런타임에서 **토픽 이름을 리맵(remap)** 하는 방법도 함께 설명합니다.

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## 주요 내용

### 1. 토픽 기반 노드 작성 예제

#### 노드 구성 요약

- **number_publisher**: 숫자를 발행하는 노드 → `/number`
- **number_counter**: `/number`를 구독하고 누적 합계를 계산하여 `/number_count`로 발행

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#### number_publisher.py

```python
import rclpy
from rclpy.node import Node
from example_interfaces.msg import Int64

class NumberPublisher(Node):
    def __init__(self):
        super().__init__("number_publisher")
        self.publisher_ = self.create_publisher(Int64, "number", 10)
        self.timer_ = self.create_timer(1.0, self.publish_number)
        self.get_logger().info("Number Publisher has been started")

    def publish_number(self):
        msg = Int64()
        msg.data = 2
        self.publisher_.publish(msg)
        self.get_logger().info(f"Publishing: {msg.data}")

def main(args=None):
    rclpy.init(args=args)
    node = NumberPublisher()
    rclpy.spin(node)
    rclpy.shutdown()

if __name__ == '__main__':
    main()
```

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#### number_counter.py

```python
import rclpy
from rclpy.node import Node
from example_interfaces.msg import Int64

class NumberCounterNode(Node):
    def __init__(self):
        super().__init__("number_counter")
        self.subscriber_ = self.create_subscription(Int64, "number", self.callback_counter, 10)
        self.publisher_ = self.create_publisher(Int64, "number_count", 10)
        self.counter_ = 0
        self.get_logger().info("Number Counter has been started")

    def callback_counter(self, msg):
        self.counter_ += msg.data
        out_msg = Int64()
        out_msg.data = self.counter_
        self.publisher_.publish(out_msg)
        self.get_logger().info(f"Received {msg.data}, Published Sum: {self.counter_}")

def main(args=None):
    rclpy.init(args=args)
    node = NumberCounterNode()
    rclpy.spin(node)
    rclpy.shutdown()

if __name__ == '__main__':
    main()
```

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### 2. 런타임에서 토픽 이름 바꾸기 (Remapping)

런타임에 토픽 이름을 바꾸는 방법은 `--ros-args -r` 옵션을 사용하는 것입니다.

#### 예시:

```bash
ros2 run my_package number_publisher --ros-args -r number:=input_number
ros2 run my_package number_counter --ros-args -r number:=input_number -r number_count:=output_number
```

이렇게 하면 실제 노드 코드는 수정하지 않고도 `/number` → `/input_number`, `/number_count` → `/output_number`로 리맵됩니다.

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### 3. rqt 및 rqt_graph로 모니터링

ROS2에서는 시각적으로 토픽 흐름을 확인할 수 있는 도구가 있습니다.

#### 1. rqt 실행

```bash
rqt
```

- 다양한 플러그인에서 Topic Monitor나 Logger Level을 활용 가능

#### 2. rqt_graph 실행

```bash
rqt_graph
```

- 실행 중인 노드와 토픽 간 관계를 노드-토픽 그래프로 보여줌
- 노드는 파란색, 토픽은 초록색으로 표시됨
- Dynamic/Static, Hide debug, Hide parameter 등 필터 옵션으로 정리 가능

#### 예상 결과

```
/number_publisher → /number → /number_counter → /number_count
```

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## 결론

이번 포스트에서는 ROS2에서 토픽 기반 노드 통신 구조를 구현하고, 런타임에서 토픽 이름을 동적으로 바꾸는 방법, 그리고 rqt_graph로 통신 흐름을 시각화하는 과정을 실습했습니다. 실시간 디버깅과 구조 파악을 위해 rqt는 필수적인 도구이며, remap 기능은 동일한 노드를 다양한 상황에서 유연하게 재사용하는 데 매우 유용합니다.

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## 참고 자료

- [ROS2 CLI - Remapping arguments](https://docs.ros.org/en/humble/How-To-Guides/Node-arguments.html)
- [rqt_graph 공식 문서](https://docs.ros.org/en/humble/Concepts/About-RQt.html)
- [ROS2 Topics 튜토리얼](https://docs.ros.org/en/humble/Tutorials/Beginner-CLI-Tools/Understanding-ROS2-Topics/Understanding-ROS2-Topics.html)

ROS2의 토픽 통신 구조와 실시간 모니터링을 위한 rqt, rqt_graph 사용법, 런타임 remapping까지 예제와 함께 설명합니다.

저는 이동원입니다

개발자 & 엔지니어 & 스타트업

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